Составить матрицу квадратичной формы онлайн. Положительно определенные квадратичные формы

18.04.2024

Квадратичные формы.
Знакоопределённость форм. Критерий Сильвестра

Прилагательное «квадратичный» сразу наталкивает на мысль, что что-то здесь связано с квадратом (второй степенью), и очень скоро мы узнаем это «что-то» и что такое форма. Прямо скороговоркой получилась:)

Приветствую вас на своём новом уроке, и в качестве незамедлительной разминки мы рассмотрим форму в полосочку линейную . Линейной формой переменных называют однородный многочлен 1-й степени:

– какие-то конкретные числа* (предполагаем, что хотя бы одно из них отлично от нуля) , а – переменные, которые могут принимать произвольные значения.

* В рамках данной темы будем рассматривать только действительные числа .

С термином «однородный» мы уже сталкивались на уроке об однородных системах линейных уравнений , и в данном случае он подразумевает, что у многочлена нет приплюсованной константы .

Например: – линейная форма двух переменных

Теперь форма квадратичная. Квадратичной формой переменных называют однородный многочлен 2-й степени, каждое слагаемое которого содержит либо квадрат переменной, либо парное произведение переменных. Так, например, квадратичная форма двух переменных имеет следующий вид:

Внимание! Это стандартная запись, и что-то менять в ней не нужно! Несмотря на «страшный» вид, тут всё просто – двойные подстрочные индексы констант сигнализируют о том, какие переменные входят в то или иное слагаемое:
– в этом слагаемом находится произведение и (квадрат);
– здесь произведение ;
– и здесь произведение .

– сразу упреждаю грубую ошибку, когда теряют «минус» у коэффициента, не понимая, что он относится к слагаемому:

Иногда встречается «школьный» вариант оформления в духе , но то лишь иногда. Кстати, заметьте, что константы нам тут вообще ни о чем не говорят, и поэтому запомнить «лёгкую запись» труднее. Особенно, когда переменных больше.

И квадратичная форма трёх переменных содержит уже шесть членов:

…почему в «смешанных» слагаемых ставятся множители-«двойки»? Это удобно, и скоро станет понятно, почему.

Однако общую формулу запишем, её удобно оформить «простынёй»:

– внимательно изучаем каждую строчку – ничего страшного тут нет!

Квадратичная форма содержит слагаемых с квадратами переменных и слагаемых с их парными произведениями (см. комбинаторную формулу сочетаний ) . Больше ничего – никаких «одиноких иксов» и никакой приплюсованной константы (тогда уже получится не квадратичная форма, а неоднородный многочлен 2-й степени).

Матричная запись квадратичной формы

В зависимости от значений рассматриваемая форма может принимать как положительные, так и отрицательные значения, и то же самое касается любой линейной формы – если хотя бы один из её коэффициентов отличен от нуля, то она может оказаться как положительной, так и отрицательной (в зависимости от значений ).

Такая форма называется знакопеременной . И если с линейной формой всё прозрачно, то с формой квадратичной дела обстоят куда более интересно:

Совершенно понятно, что данная форма может принимать значения любого знака, таким образом, квадратичная форма тоже может быть знакопеременной .

А может и не быть:

– всегда, если только одновременно не равны нулю.

– для любого вектора , кроме нулевого .

И вообще, если для любого ненулевого вектора , , то квадратичную форму называют положительно определённой ; если же – то отрицательно определённой .

И всё бы было хорошо, но определённость квадратичной формы виднА лишь в простых примерах, и эта видимость теряется уже при небольшом усложнении:
– ?

Можно предположить, что форма определена положительно, но так ли это на самом деле? Вдруг существуют значения , при которых она меньше нуля?

На этот счёт существует теорема : если ВСЕ собственные числа матрицы квадратичной формы положительны* , то она определена положительно. Если все отрицательны – то отрицательно.

* В теории доказано, что все собственные числа действительной симметрической матрицы действительны

Запишем матрицу вышеприведённой формы:
и из уравнения найдём её собственные значения :

Решаем старое доброе квадратное уравнение :

, значит, форма определена положительно, т.е. при любых ненулевых значениях она больше нуля.

Рассмотренный метод вроде бы рабочий, но есть одно большое НО. Уже для матрицы «три на три» искать собственные числа – есть занятие долгое и неприятное; с высокой вероятностью получится многочлен 3-й степени с иррациональными корнями.

Как быть? Существует более простой путь!

Критерий Сильвестра

Нет, не Сильвестра Сталлоне:) Сначала напомню, что такое угловые миноры матрицы. Это определители которые «разрастаются» из её левого верхнего угла:

и последний из них в точности равен определителю матрицы.

Теперь, собственно, критерий :

1) Квадратичная форма определена положительно тогда и только тогда, когда ВСЕ её угловые миноры больше нуля: .

2) Квадратичная форма определена отрицательно тогда и только тогда, когда её угловые миноры знакочередуются, при этом 1-й минор меньше нуля: , , если – чётное или , если – нечётное.

Если хотя бы один угловой минор противоположного знака, то форма знакопеременна . Если угловые миноры «того» знака, но среди них есть нулевые, то это особый случай, который я разберу чуть позже, после того, как мы перещёлкаем более распространённые примеры.

Проанализируем угловые миноры матрицы :

И это сразу говорит нам о том, что форма не определена отрицательно.

Вывод : все угловые миноры больше нуля, значит, форма определена положительно.

Есть разница с методом собственных чисел? ;)

Запишем матрицу формы из Примера 1 :

первый её угловой минор , а второй , откуда следует, что форма знакопеременна, т.е. в зависимости от значений , может принимать как положительные, так и отрицательные значения. Впрочем, это и так очевидно.

Возьмём форму и её матрицу из Примера 2 :

тут вообще без озарения не разобраться. Но с критерием Сильвестра нам всё нипочём:
, следовательно, форма точно не отрицательна.

, и точно не положительна (т.к. все угловые миноры должны быть положительными) .

Вывод : форма знакопеременна.

Разминочные примеры для самостоятельного решения:

Пример 4

Исследовать квадратичные формы на знакоопределенность

а)

В этих примерах всё гладко (см. конец урока), но на самом деле для выполнения такого задания критерия Сильвестра может оказаться не достаточно .

Дело в том, что существуют «краевые» случаи, а именно: если для любого ненулевого вектора , то форма определена неотрицательно , если – то неположительно . У этих форм существует ненулевые векторы , при которых .

Здесь можно привести такой «баян»:

Выделяя полный квадрат , сразу видим неотрицательность формы: , причём, она равна нулю и при любом векторе с равными координатами, например: .

«Зеркальный» пример неположительно определённой формы:

и ещё более тривиальный пример:
– здесь форма равна нулю при любом векторе , где – произвольное число.

Как выявить неотрицательность или неположительнось формы?

Для этого нам потребуется понятие главных миноров матрицы. Главный минор – это минор, составленный из элементов, которые стоят на пересечении строк и столбцов с одинаковыми номерами. Так, у матрицы существуют два главных минора 1-го порядка:
(элемент находится на пересечении 1-й строки и 1-го столбца);
(элемент находится на пересечении 2-й строки и 2-го столбца),

и один главный минор 2-го порядка:
– составлен из элементов 1-й, 2-й строки и 1-го, 2-го столбца.

У матрицы «три на три» главных миноров семь, и тут уже придётся помахать бицепсами:
– три минора 1-го порядка,
три минора 2-го порядка:
– составлен из элементов 1-й, 2-й строки и 1-го, 2-го столбца;
– составлен из элементов 1-й, 3-й строки и 1-го, 3-го столбца;
– составлен из элементов 2-й, 3-й строки и 2-го, 3-го столбца,
и один минор 3-го порядка:
– составлен из элементов 1-й, 2-й, 3-й строки и 1-го, 2-го и 3-го столбца.
Задание на понимание: записать все главные миноры матрицы .
Сверяемся в конце урока и продолжаем.

Критерий Шварценеггера :

1) Ненулевая* квадратичная форма определена неотрицательно тогда и только тогда, когда ВСЕ её главные миноры неотрицательны (больше либо равны нулю).

* У нулевой (вырожденной) квадратичной формы все коэффициенты равны нулю .

2) Ненулевая квадратичная форма с матрицей определена неположительно тогда и только тогда, когда её:
– главные миноры 1-го порядка неположительны (меньше либо равны нулю);
– главные миноры 2-го порядка неотрицательны ;
– главные миноры 3-го порядка неположительны (пошло чередование);
…
– главный минор -го порядка неположителен , если – нечётное либо неотрицателен , если – чётное.

Если хотя бы один минор противоположного знака, то форма знакопеременна.

Посмотрим, как работает критерий в вышеприведённых примерах:

Составим матрицу формы, и в первую очередь вычислим угловые миноры – а вдруг она определена положительно или отрицательно?

Полученные значения не удовлетворяют критерию Сильвестра, однако второй минор не отрицателен , и это вызывает надобность проверить 2-й критерий (в случае 2-й критерий будет не выполнен автоматически, т.е. сразу делается вывод о знакопеременности формы) .

Главные миноры 1-го порядка:
– положительны,
главный минор 2-го порядка:
– не отрицателен.

Таким образом, ВСЕ главные миноры не отрицательны, значит, форма неотрицательна .

Запишем матрицу формы , для которой, очевидно, не выполнен критерий Сильвестра. Но и противоположных знаков мы тоже не получили (т.к. оба угловых минора равны нулю). Поэтому проверяем выполнение критерия неотрицательности / неположительности. Главные миноры 1-го порядка:
– не положительны,
главный минор 2-го порядка:
– не отрицателен.

Таким образом, по критерию Шварценеггера (пункт 2), форма определена неположительно.

Теперь во всеоружии разберём более занятную задачку:

Пример 5

Исследовать квадратичную форму на знакоопределенность

Данную форму украшает орден «альфа», который может равняться любому действительному числу. Но это ж только веселее будет, решаем .

Сначала запишем матрицу формы, наверное, многие уже приноровились это делать устно: на главную диагональ ставим коэффициенты при квадратах, а на симметричные места – споловиненные коэффициенты соответствующих «смешанных» произведений:

Вычислим угловые миноры:

третий определитель я раскрою по 3-й строке:

Квадратичные формы

Квадратичной формой f(х 1 , х 2 ,...,х n) от n переменных называют сумму, каждый член которой является либо квадратом одной из переменных, либо произведением двух разных переменных, взятым с некоторым коэффициентом: f(х 1 , х 2 ,...,х n) = (a ij = a ji).

Матрицу А, составленную из этих коэффициентов, называют матрицей квадратичной формы. Это всегда симметрическая матрица (т.е. матрица, симметричная относительно главной диагонали, a ij = a ji).

В матричной записи квадратичная форма имеет вид f(Х) = Х Т AX, где

В самом деле

Например, запишем в матричном виде квадратичную форму .

Для этого найдем матрицу квадратичной формы. Ее диагональные элементы равны коэффициентам при квадратах переменных, а остальные элементы - половинам соответствующих коэффициентов квадратичной формы. Поэтому

Пусть матрица-столбец переменных X получена невырожденным линейным преобразовании матрицы-столбца Y, т.е. X = CY, где С - невырожденная матрица n-го порядка. Тогда квадратичная форма
f(X) = Х T АХ = (CY) T A(CY) = (Y T C T)A(CY) = Y T (C T AC)Y.

Таким образом, при невырожденном линейном преобразовании С матрица квадратичной формы принимает вид: А * = C T AC.

Например, найдем квадратичную форму f(y 1 , y 2), полученную из квадратичной формы f(х 1 , х 2) = 2x 1 2 + 4х 1 х 2 - 3х 2 2 линейным преобразованием .

Квадратичная форма называется канонической (имеет канонический вид ), если все ее коэффициенты a ij = 0 при i ≠ j, т.е.
f(х 1 , х 2 ,...,х n) = a 11 x 1 2 + a 22 x 2 2 + … + a nn x n 2 = .

Ее матрица является диагональной.

Теорема (доказательство здесь не приводится). Любая квадратичная форма может быть приведена к каноническому виду с помощью невырожденного линейного преобразования.

Например, приведем к каноническому виду квадратичную форму
f(х 1 , х 2 , х 3) = 2x 1 2 + 4х 1 х 2 - 3х 2 2 – х 2 х 3 .

Для этого вначале выделим полный квадрат при переменной х 1:

f(х 1 , х 2 , х 3) = 2(x 1 2 + 2х 1 х 2 + х 2 2) - 2х 2 2 - 3х 2 2 – х 2 х 3 = 2(x 1 + х 2) 2 - 5х 2 2 – х 2 х 3 .

Теперь выделяем полный квадрат при переменной х 2:

f(х 1 , х 2 , х 3) = 2(x 1 + х 2) 2 – 5(х 2 2 – 2* х 2 *(1/10)х 3 + (1/100)х 3 2) - (5/100)х 3 2 =
= 2(x 1 + х 2) 2 – 5(х 2 – (1/10)х 3) 2 - (1/20)х 3 2 .

Тогда невырожденное линейное преобразование y 1 = x 1 + х 2 , y 2 = х 2 – (1/10)х 3 и y 3 = x 3 приводит данную квадратичную форму к каноническому виду f(y 1 , y 2 , y 3) = 2y 1 2 - 5y 2 2 - (1/20)y 3 2 .

Отметим, что канонический вид квадратичной формы определяется неоднозначно (одна и та же квадратичная форма может быть приведена к каноническому виду разными способами). Однако полученные различными способами канонические формы обладают рядом общих свойств. В частности, число слагаемых с положительными (отрицательными) коэффициентами квадратичной формы не зависит от способа приведения формы к этому виду (например, в рассмотренном примере всегда будет два отрицательных и один положительный коэффициент). Это свойство называют законом инерции квадратичных форм .

Убедимся в этом, по-другому приведя ту же квадратичную форму к каноническому виду. Начнем преобразование с переменной х 2:
f(х 1 , х 2 , х 3) = 2x 1 2 + 4х 1 х 2 - 3х 2 2 – х 2 х 3 = -3х 2 2 – х 2 х 3 + 4х 1 х 2 + 2x 1 2 = -3(х 2 2 –
- 2* х 2 ((1/6) х 3 + (2/3)х 1) +((1/6) х 3 + (2/3)х 1) 2) – 3((1/6) х 3 + (2/3)х 1) 2 + 2x 1 2 =
= -3(х 2 – (1/6) х 3 - (2/3)х 1) 2 – 3((1/6) х 3 + (2/3)х 1) 2 + 2x 1 2 = f(y 1 , y 2 , y 3) = -3y 1 2 -
-3y 2 2 + 2y 3 2 , где y 1 = - (2/3)х 1 + х 2 – (1/6) х 3 , y 2 = (2/3)х 1 + (1/6) х 3 и y 3 = x 1 . Здесь положительный коэффициент 2 при y 3 и два отрицательных коэффициента (-3) при y 1 и y 2 (а при использовании другого способа мы получили положительный коэффициент 2 при y 1 и два отрицательных – (-5) при y 2 и (-1/20) при y 3).

Также следует отметить, что ранг матрицы квадратичной формы, называемый рангом квадратичной формы , равен числу отличных от нуля коэффициентов канонической формы и не меняется при линейных преобразованиях.

Квадратичную форму f(X) называют положительно (отрицательно ) определенной , если при всех значениях переменных, не равных одновременно нулю, она положительна, т.е. f(X) > 0 (отрицательна, т.е.
f(X) < 0).

Например, квадратичная форма f 1 (X) = x 1 2 + х 2 2 - положительно определенная, т.к. представляет собой сумму квадратов, а квадратичная форма f 2 (X) = -x 1 2 + 2x 1 х 2 - х 2 2 - отрицательно определенная, т.к. представляет ее можно представить в виде f 2 (X) = -(x 1 - х 2) 2 .

В большинстве практических ситуации установить знакоопределенность квадратичной формы несколько сложнее, поэтому для этого используют одну из следующих теорем (сформулируем их без доказательств).

Теорема . Квадратичная форма является положительно (отрицательно) определенной тогда и только тогда, когда все собственные значения ее матрицы положительны (отрицательны).

Теорема (критерий Сильвестра) . Квадратичная форма является положительно определенной тогда и только тогда, когда все главные миноры матрицы этой формы положительны.

Главным (угловым) минором k-го порядка матрицы А n-го порядка называют определитель матрицы, составленный из первых k строк и столбцов матрицы А ().

Отметим, что для отрицательно определенных квадратичных форм знаки главных миноров чередуются, причем минор первого порядка должен быть отрицательным.

Например, исследуем на знакоопределенность квадратичную форму f(х 1 , х 2) = 2x 1 2 + 4х 1 х 2 + 3х 2 2 .

= (2 - l)*
*(3 - l) – 4 = (6 - 2l - 3l + l 2) – 4 = l 2 - 5l + 2 = 0; D = 25 – 8 = 17;
. Следовательно, квадратичная форма – положительно определенная.

Способ 2. Главный минор первого порядка матрицы А D 1 = a 11 = 2 > 0. Главный минор второго порядка D 2 = = 6 – 4 = 2 > 0. Следовательно, по критерию Сильвестра квадратичная форма – положительно определенная.

Исследуем на знакоопределенность другую квадратичную форму, f(х 1 , х 2) = -2x 1 2 + 4х 1 х 2 - 3х 2 2 .

Способ 1. Построим матрицу квадратичной формы А = . Характеристическое уравнение будет иметь вид = (-2 - l)*
*(-3 - l) – 4 = (6 + 2l + 3l + l 2) – 4 = l 2 + 5l + 2 = 0; D = 25 – 8 = 17;
. Следовательно, квадратичная форма – отрицательно определенная.

В матричной записи квадратичная форма имеет вид f(Х) = Х Т AX, где

В самом деле

Например, запишем в матричном виде квадратичную форму .

Пусть матрица-столбец переменных X получена невырожденным линейным преобразовании матрицы-столбца Y, т.е. X = CY, где С - невырожденная матрица n-го порядка. Тогда квадратичная форма f(X) = Х T АХ = (CY) T A(CY) = (Y T C T)A(CY) =Y T (C T AC)Y.

Например, найдем квадратичную форму f(y 1 , y 2), полученную из квадратичной формыf(х 1 , х 2) = 2x 1 2 + 4х 1 х 2 - 3х 2 2 линейным преобразованием .

Квадратичная форма называется канонической (имеетканонический вид ), если все ее коэффициентыa ij = 0 приi≠j, т.е.f(х 1 , х 2 ,...,х n) = a 11 x 1 2 + a 22 x 2 2 + … + a nn x n 2 = .

Ее матрица является диагональной.

Например, приведем к каноническому виду квадратичную форму f(х 1 , х 2 , х 3) = 2x 1 2 + 4х 1 х 2 - 3х 2 2 – х 2 х 3 .

Для этого вначале выделим полный квадрат при переменной х 1:

f(х 1 , х 2 , х 3) = 2(x 1 2 + 2х 1 х 2 + х 2 2) - 2х 2 2 - 3х 2 2 – х 2 х 3 = 2(x 1 + х 2) 2 - 5х 2 2 – х 2 х 3 .

Теперь выделяем полный квадрат при переменной х 2:

f(х 1 , х 2 , х 3) = 2(x 1 + х 2) 2 – 5(х 2 2 – 2* х 2 *(1/10)х 3 + (1/100)х 3 2) - (5/100)х 3 2 = = 2(x 1 + х 2) 2 – 5(х 2 – (1/10)х 3) 2 - (1/20)х 3 2 .

Тогда невырожденное линейное преобразование y 1 = x 1 + х 2 ,y 2 = х 2 – (1/10)х 3 и y 3 = x 3 приводит данную квадратичную форму к каноническому видуf(y 1 ,y 2 ,y 3) = 2y 1 2 - 5y 2 2 - (1/20)y 3 2 .

Отметим, что канонический вид квадратичной формы определяется неоднозначно (одна и та же квадратичная форма может быть приведена к каноническому виду разными способами 1). Однако полученные различными способами канонические формы обладают рядом общих свойств. В частности, число слагаемых с положительными (отрицательными) коэффициентами квадратичной формы не зависит от способа приведения формы к этому виду (например, в рассмотренном примере всегда будет два отрицательных и один положительный коэффициент). Это свойство называютзаконом инерции квадратичных форм .

Убедимся в этом, по-другому приведя ту же квадратичную форму к каноническому виду. Начнем преобразование с переменной х 2:f(х 1 , х 2 , х 3) = 2x 1 2 + 4х 1 х 2 - 3х 2 2 – х 2 х 3 = -3х 2 2 – х 2 х 3 + 4х 1 х 2 + 2x 1 2 = -3(х 2 2 – - 2* х 2 ((1/6) х 3 + (2/3)х 1) +((1/6) х 3 + (2/3)х 1) 2) – 3((1/6) х 3 + (2/3)х 1) 2 + 2x 1 2 = = -3(х 2 – (1/6) х 3 - (2/3)х 1) 2 – 3((1/6) х 3 + (2/3)х 1) 2 + 2x 1 2 =f(y 1 ,y 2 ,y 3) = -3y 1 2 - -3y 2 2 + 2y 3 2 , гдеy 1 = - (2/3)х 1 + х 2 – (1/6) х 3 ,y 2 = (2/3)х 1 + (1/6) х 3 и y 3 = x 1 . Здесь положительный коэффициент 2 приy 3 и два отрицательных коэффициента (-3) приy 1 иy 2 (а при использовании другого способа мы получили положительный коэффициент 2 приy 1 и два отрицательных – (-5) приy 2 и (-1/20) приy 3).

Квадратичную форму f(X) называютположительно (отрицательно )определенной , если при всех значениях переменных, не равных одновременно нулю, она положительна, т.е.f(X) > 0 (отрицательна, т.е.f(X) < 0).

Например, квадратичная форма f 1 (X) = x 1 2 + х 2 2 - положительно определенная, т.к. представляет собой сумму квадратов, а квадратичная формаf 2 (X) = -x 1 2 + 2x 1 х 2 - х 2 2 - отрицательно определенная, т.к. представляет ее можно представить в видеf 2 (X) = -(x 1 - х 2) 2 .

Главным (угловым) минором k-го порядка матрицы Аn-го порядка называют определитель матрицы, составленный из первыхkстрок и столбцов матрицы А ().

Например, исследуем на знакоопределенность квадратичную форму f(х 1 , х 2) = 2x 1 2 + 4х 1 х 2 + 3х 2 2 .

= (2 -)* *(3 -) – 4 = (6 - 2- 3+ 2) – 4 = 2 - 5+ 2 = 0;D= 25 – 8 = 17; . Следовательно, квадратичная форма – положительно определенная.

Способ 2. Главный минор первого порядка матрицы А  1 =a 11 = 2 > 0. Главный минор второго порядка 2 = = 6 – 4 = 2 > 0. Следовательно, по критерию Сильвестра квадратичная форма – положительно определенная.

Исследуем на знакоопределенность другую квадратичную форму, f(х 1 , х 2) = -2x 1 2 + 4х 1 х 2 - 3х 2 2 .

Способ 1. Построим матрицу квадратичной формы А = . Характеристическое уравнение будет иметь вид = (-2 -)* *(-3 -) – 4 = (6 + 2+ 3+ 2) – 4 = 2 + 5+ 2 = 0;D= 25 – 8 = 17; . Следовательно, квадратичная форма – отрицательно определенная.

Способ 2. Главный минор первого порядка матрицы А  1 =a 11 = = -2 < 0. Главный минор второго порядка 2 = = 6 – 4 = 2 > 0. Следовательно, по критерию Сильвестра квадратичная форма – отрицательно определенная (знаки главных миноров чередуются, начиная с минуса).

И в качестве еще одного примера исследуем на знакоопределенность квадратичную форму f(х 1 , х 2) = 2x 1 2 + 4х 1 х 2 - 3х 2 2 .

Способ 1. Построим матрицу квадратичной формы А = . Характеристическое уравнение будет иметь вид = (2 -)* *(-3 -) – 4 = (-6 - 2+ 3+ 2) – 4 = 2 +- 10 = 0;D= 1 + 40 = 41; . Одно из этих чисел отрицательно, а другое – положительно. Знаки собственных значений разные. Следовательно, квадратичная форма не может быть ни отрицательно, ни положительно определенной, т.е. эта квадратичная форма не является знакоопределенной (может принимать значения любого знака).

Способ 2. Главный минор первого порядка матрицы А  1 =a 11 = 2 > 0. Главный минор второго порядка 2 = = -6 – 4 = -10 < 0. Следовательно, по критерию Сильвестра квадратичная форма не является знакоопределенной (знаки главных миноров разные, при этом первый из них – положителен).

1Рассмотренный способ приведения квадратичной формы к каноническому виду удобно использовать, когда при квадратах переменных встречаются ненулевые коэффициенты. Если их нет, осуществить преобразование все равно возможно, но приходится использовать некоторые другие приемы. Например, пустьf(х 1 , х 2) = 2x 1 х 2 = x 1 2 + 2x 1 х 2 + х 2 2 - x 1 2 - х 2 2 =

= (x 1 + х 2) 2 - x 1 2 - х 2 2 = (x 1 + х 2) 2 – (x 1 2 - 2x 1 х 2 + х 2 2) - 2x 1 х 2 = (x 1 + х 2) 2 – - (x 1 - х 2) 2 - 2x 1 х 2 ; 4x 1 х 2 = (x 1 + х 2) 2 – (x 1 - х 2) 2 ;f(х 1 , х 2) = 2x 1 х 2 = (1/2)* *(x 1 + х 2) 2 – (1/2)*(x 1 - х 2) 2 =f(y 1 ,y 2) = (1/2)y 1 2 – (1/2)y 2 2 , гдеy 1 = х 1 + х 2 , аy 2 = х 1 – х 2 .

В этом параграфе мы остановимся на специальном, но важном классе положительных квадратичных форм.

Определение 3. Вещественная квадратичная форма называется неотрицательной (неположительной), если при любых вещественных значениях переменных

. (35)

В этом случае симметрическая матрица коэффициентов называется положительно полуопределенной (отрицательно полуопределенной).

Определение 4. Вещественная квадратичная форма называется положительно определенной (отрицательно определенной), если при любых не равных одновременно нулю вещественных значениях переменных

. (36)

В этом случае матрица также называется положительно определенной (отрицательно определенной).

Класс положительно определенных (отрицательно определенных) форм является частью класса неотрицательных (соответственно неположительных) форм.

Пусть дана неотрицательная форма . Представим ее в виде суммы независимых квадратов:

. (37)

В этом представлении все квадраты должны быть положительными:

. (38)

Действительно, если бы какое-либо было , то можно было бы подобрать такие значения , при которых

Но тогда при этих значениях переменных форма имела бы отрицательное значение, что по условию невозможно. Очевидно, что и обратно, из (37) и (38) следует положительность формы .

Таким образом, неотрицательная квадратичная форма характеризуется равенствами .

Пусть теперь – положительно определенная форма. Тогда и неотрицательная форма. Поэтому она представима в виде (37), где все положительны. Из положительной определенности формы следует, что . Действительно, в случае можно подобрать такие не равные одновременно нулю значения , при которых все обращались бы в нуль. Но тогда в силу (37) при , что противоречит условию (36).

Легко видеть, что и обратно, если в (37) и все положительны, то – положительно определенная форма.

Другими словами, неотрицательная форма тогда и только тогда является положительно определенной, когда она не сингулярна.

Следующая теорема дает критерий положительной определенности формы в виде неравенств, которым должны удовлетворять коэффициенты формы. При этом используются уже встречавшиеся в предыдущих параграфах обозначения для последовательных главных миноров матрицы :

Теорема 3. Для того чтобы квадратичная форма была положительно определенной, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись неравенства

Доказательство. Достаточность условий (39) следует непосредственно из формулы Якоби (28). Необходимость условий (39) устанавливается следующим образом. Из положительной определенности формы следует положительная определенность «урезанных» форм

Но тогда все эти формы должны быть несингулярны, т. е.

Теперь мы имеем возможность воспользоваться формулой Якоби (28) (при ). Поскольку в правой части этой формулы все квадраты должны быть положительными, то

Отсюда следуют неравенства (39). Теорема доказана.

Поскольку любой главный минор матрицы при надлежащей перенумерации переменных можно поместить в левый верхний угол, то имеет место

Следствие. В положительно определенной квадратичной форме все главные миноры матрицы коэффициентов положительны:

Замечание. Из неотрицательности последовательных главных миноров

не следует неотрицательность формы . Действительно, форма

в которой , удовлетворяет условиям , но не является неотрицательной.

Однако имеет место следующая

Теорема 4. Для того чтобы квадратичная форма была неотрицательной, необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры ее матрицы коэффициентов были неотрицательны:

Доказательство. Введем вспомогательную форму была неположительной, необходимо и достаточно, чтобы имели место неравенства